Question

已知函數圖像上點處的切線與直線平行（其中），     

(I）求函數的解析式；

(II）求函數上的最小值；

(III）對一切恒成立，求實數的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（I） （II） .

（III）實數的取值范圍為.

【解析】

試題分析：（I）由點處的切線方程與直線平行，得該切線斜率為2，即

又所以 4分

（II）由（I）知，顯然當所以函數上單調遞減.當時，所以函數上單調遞增，

①

②時，函數上單調遞增，

因此        7分

所以  10分

（III）對一切恒成立，又

即設

則由

單調遞增，

單調遞減，

單調遞增，

所以

因為對一切恒成立，

故實數的取值范圍為  14分 

考點：導數的幾何意義，直線方程，應用導數研究函數的單調性及極（最）值，不等式恒成立問題。

點評：難題，本題（1）較為簡單，主要利用“曲線切線的斜率，等于在切點的導函數值”。本題（2）主要利用“在給定區間，導函數值非負，函數為增函數；導函數值非正，函數為減函數”，研究函數的單調區間。（3）作為不等式恒成立問題，通過構造函數，研究函數的單調性、極值（最值），使問題得到解決。