Question

如圖，直三棱柱A₁B₁C₁―ABC中，C₁C=CB=CA=2，AC⊥CB. D、E分別為棱C₁C、B₁C₁的中點.

（1）求與平面A₁C₁CA所成角的大小；

（2）求二面角B―A₁D―A的大小；

（3）在線段AC上是否存在一點F，使得EF⊥平面A₁BD？若存在，確定其位置并證明結論；若不存在，說明理由.

Answer 1

解：（1）∵A₁B₁C₁－ABC為直三棱柱  ∴CC₁⊥底面ABC  ∴CC₁⊥BC

       ∵AC⊥CB   ∴BC⊥平面A₁C₁CA

       ∴為與平面A₁C₁CA所成角

∴與平面A₁C₁CA所成角為

   （2）分別延長AC，A₁D交于G. 過C作CM⊥A₁G 于M，連結BM

∵BC⊥平面ACC­₁A₁   ∴CM為BM在平面A₁C₁CA的內射影

∴BM⊥A₁G    ∴∠CMB為二面角B―A₁D―A的平面角

       平面A₁C₁CA中，C₁C=CA=2，D為C₁C的中點

       ∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG中，

         ， 

即二面角B―A₁D―A的大小為

   （3）在線段AC上存在一點F，使得EF⊥平面A₁BD…10分其位置為AC中點，證明如下：

       ∵A₁B₁C₁―ABC為直三棱柱，∴B₁C₁//BC

       ∵由（1）BC⊥平面A₁C₁CA，∴B₁C₁⊥平面A₁C₁CA

       ∵EF在平面A₁C₁CA內的射影為C₁F ，F為AC中點 ∴C₁F⊥A₁D ∴EF⊥A₁D

       同理可證EF⊥BD，∴EF⊥平面A₁BD

       ∵E為定點，平面A₁BD為定平面，點F唯一

       解法二：（1）同解法一

   （2）

       ∵A₁B₁C₁―ABC為直三棱住   C₁C=CB=CA=2 ， AC⊥CB  D、E分別為C₁C、B₁C₁的中點， 建立如圖所示的坐標系得

       C（0，0，0） B（2，0，0）  A（0，2，0）

       C₁（0，0，2）  B₁（2，0，2）  A­₁（0，2，2）

       D（0，0，1）  E（1，0，2）

                設平面A₁BD的法向量為

             

             

       平面ACC₁A₁­的法向量為=（1，0，0） 

       即二面角B―A₁D―A的大小為 

   （3）在線段AC上存在一點F，設F（0，y，0）使得EF⊥平面A₁BD

欲使EF⊥平面A₁BD    由（2）知，當且僅當//

 

∴存在唯一一點F（0，1，0）滿足條件. 即點F為AC中點．