Question

已知函數，當時，；當（）時，.
（1）求在[0，1]內的值域；
（2）為何值時，不等式在[1，4]上恒成立.

Answer 1

(1)值域為；(2)當時，不等式在[1，4]上恒成立.

試題分析： （1）根據題意得到和是函數的零點且，然后得到解析式。
（2）令
因為上單調遞減，要使在[1，4]上恒成立，只要求解g(x)的最大值即可。
由題意得和是函數的零點且，則（此處也可用韋達定理解）解得：
               ------------6分
(1)由圖像知，函數在內為單調遞減，所以：當時，，當時，.
在內的值域為       --------------- 8分
(2)令
因為上單調遞減，要使在[1，4]上恒成立，
則需要，即
解得當時，不等式在[1，4]上恒成立.    ------12分
點評：解決該試題的關鍵是根據題意得到和是函數的零點且，進而求解得到解析式，進一步研究函數在給定區間的最值。