Question

已知函數且的圖象經過點．
（1）求函數的解析式；
（2）設，用函數單調性的定義證明：函數在區間上單調遞減；
（3）解不等式：．

Answer 1

（1），（2）詳見解析，（3）或.

試題分析：（1）求函數的解析式,只需確定的值即可，由函數且的圖象經過點，得，再由得，（2）用函數單調性的定義證明單調性，一設上的任意兩個值，二作差，三因式分解確定符號，（3）解不等式，一可代入解析式，轉化為解對數不等式，需注意不等號方向及真數大于零隱含條件，二利用函數單調性，去“”，注意定義域.
試題解析：（1），解得： ∵ 且∴；   3分
（2）設、為上的任意兩個值，且，則
        6分
，在區間上單調遞減．  8分
（3）方法（一）：
由，解得：，即函數的定義域為；     10分
先研究函數在上的單調性．
可運用函數單調性的定義證明函數在區間上單調遞減，證明過程略．
或設、為上的任意兩個值，且，
由（2）得： ，即
在區間上單調遞減．                    12分
再利用函數的單調性解不等式：
且在上為單調減函數．，    13分
即，解得：
．                         15分
方法（二）：           10分
由得：或；由得：，                       13分
．                         15分