Question

（2013•寶山區二模）已知橢圓Γ：

x2

12

+

y2

4

=1．
（1）直線AB過橢圓Γ的中心交橢圓于A、B兩點，C是它的右頂點，當直線AB的斜率為1時，求△ABC的面積；
（2）設直線l：y=kx+2與橢圓Γ交于P、Q兩點，且線段PQ的垂直平分線過橢圓Γ與y軸負半軸的交點D，求實數k的值．

Answer 1

分析：（1）由題意寫出C點坐標，直線AB方程，聯立直線方程與橢圓方程可求得交點A、B的縱坐標，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則S△ABC=

1

2

|OC||y1-y2|，代入數值即可求得面積；
（2）聯立直線l與橢圓方程消掉y得x的二次方程，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），線段PQ的中點H（x₀，y₀），由韋達定理及中點坐標公式可用k表示出中點坐標，由垂直可得
k_DH•k_PQ=-1，解出即得k值，注意檢驗△＞0；

解答：解：（1）依題意，a=2

3

，C(2

3

，0)，直線AB的方程為y=x，
由

x2 12 + y2 4 =1 y=x

，得y=±

3

，
設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），∵|OC|=2

3

，
∴S△ABC=

1

2

|OC|•|y1-y2|=

1

2

×2

3

×2

3

=6；
（2）由

y=kx+2 x2 12 + y2 4 =1

得（3k²+1）x²+12kx=0，△=（12k）²≥0，
依題意，k≠0，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），線段PQ的中點H（x₀，y₀），
則x0=

x1+x2

2

=

-6k

3k2+1

，y0=kx0+2=

2

3k2+1

，D（0，-2），
由k_DH•k_PQ=-1，得

2 3k2+1 +2

- 6k 3k2+1

•k=-1，解得k=±

3

3

．
所以實數k的值為±

3

3

．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、三角形面積公式，韋達定理、判別式是解決該類題目的常用知識，要熟練掌握．