【題目】
已知函數
，其中
是常數.
(Ⅰ)當
時，求曲線
在點
處的切線方程；
（Ⅱ）若存在實數
，使得關于
的方程
在
上有兩個不相等的實數根，求的取值范圍.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）當a＝1時，f（1）＝e，f′（1）＝4e，由點斜式可求得y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ） 令f′（x）＝ex[x2+（a+2）x）]＝0，可解得x＝﹣（a+2）或x＝0，對﹣（a+2）與0的大小關系分類討論，可求得關于x的方程f（x）＝k在[0，+∞）上有兩個不相等的實數根的k的取值范圍．
解：(Ⅰ)由
可得
.
當
時,
,
.
所以 曲線
在點
處的切線方程為
，
即
（Ⅱ） 令
，
解得
或
當
，即
時，在區間
上，
，所以
是上的增函數.
所以 方程
在上不可能有兩個不相等的實數根.
當
，即
時，
隨
的變化情況如下表
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ↘ |
| ↗ |
由上表可知函數
在上的最小值為
.
因為 函數是
上的減函數，是
上的增函數，
且當
時，有
.
所以 要使方程在上有兩個不相等的實數根，
的取值范圍必須是
.
亮點激活精編提優100分大試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某種商品價格與該商品日需求量之間的幾組對照數據如下表，經過進一步統計分析，發現y與x具有線性相關關系．
價格x（元/kg） | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
日需求量y（kg） | 11 | 10 | 8 | 6 | 5 |
（1）根據上表給出的數據，求出y與x的線性回歸方程
；
（2）利用（1）中的回歸方程，當價格
元/kg時，日需求量y的預測值為多少？
（參考公式：線性回歸方程，其中
，
．）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某中學有初中學生1800人，高中學生1200人.為了解全校學生本學期開學以來的課外閱讀時間，學校采用分層抽樣方法，從中抽取了100名學生進行問卷調查.將樣本中的“初中學生”和“高中學生”，按學生的課外閱讀時間(單位：小時)各分為5組：
，
，
，
，
，得其頻率分布直方圖如圖所示.
（1）估計全校學生中課外閱讀時間在小時內的總人數約是多少；
（2）從全校課外閱讀時間不足10個小時的樣本學生中隨機抽取3人，求至少有2個初中生的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在以下命題中：
①三個非零向量
，
，
不能構成空間的一個基底，則，，共面；
②若兩個非零向量，與任何一個向量都不能構成空間的一個基底，則，共線；
③對空間任意一點
和不共線的三點
，
，
，若
，則
，，，四點共面
④若，是兩個不共線的向量，且
，則
構成空間的一個基底
⑤若
為空間的一個基底，則
構成空間的另一個基底；
其中真命題的個數是（ ）
A.0B.1C.2D.3
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
為雙曲線
的左、右焦點，過
作垂直于
軸的直線，并在軸上方交雙曲線于點
，且
.
（1）求雙曲線
的方程；
（2）過雙曲線上一點
作兩條漸近線的垂線，垂足分別是
和
，試求
的值；
（3）過圓
上任意一點
作切線
交雙曲線于
兩個不同點，
中點為
，證明：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若某產品的直徑長與標準值的差的絕對值不超過
時，則視為合格品，否則視為不合格品．在近期一次產品抽樣檢查中，從某廠生產的此種產品中，隨機抽取5000件進行檢測，結果發現有50件不合格品．計算這50件不合格品的直徑長與標準值的差（單位：
）將所得數據分組，得到如下頻率分布表：
（1）將上面表格中缺少的數據填充完整；
（2）估計該廠生產的此種產品中，不合格的直徑長與標準值的差落在區間
內的概率
（3）現對該廠這種產品的某個批次進行檢查，結果發現有20件不合格品，據此估算這批產品中的合格品的件數．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】高一年級6個班級去蘇州、黃山、廈門三個地方修學旅行，每個城市至少有一個班前去，其中1班和2班不能去同一個地方，則共有_________種不同分配方法？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）＝logax，g（x）＝m2x2﹣2mx+1，若b＞a＞1，且f（b）
，ab＝ba．
（1）求a與b的值；
（2）當x∈[0，1]時，函數g（x）的圖象與h（x）＝f（x+1）+m的圖象僅有一個交點，求正實數m的取值范圍．
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