Question

【題目】設函數 （ 為常數，e=2.71828……是自然對數的底數）．
（1）當 時，求函數 的單調區間；
（2）若函數 在 內存在兩個極值點，求 的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數 的定義域為

由 可得 ,

所以當 時, ,函數 單調遞減;

當 時, ,函數 單調遞增;

所以 的單調遞減區間為 單調遞增區間為

（2）解：由1知, 時,函數 在 內單調遞減,

故 在 內不存在極值點;

當 時,設函數 ,,

因為 ,

當 時,當 時, , 單調遞增;

故 在 內不存在兩個極值點;

當 時,得 時, ,函數 單調遞減;

時, ,函數 單調遞增;

所以函數 的最小值為 ,

函數 在 內存在兩個極值點,

當且僅當 ,解得 .

綜上所述,函數 在 內存在兩個極值點時,k的取值范圍為

【解析】(1)根據題意結合已知條件求出原函數的導函數利用導函數在指定區間上的的正負情況得出原函數的增減性以及增減區間。(2)函數f(x) 在（ 0 , 2 ） 內存在兩個極值點，等價于它的導函數f‘(x) 在 ( 0 , 2 ) 內存在兩個不同的零點。
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性和函數的零點是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；函數的零點就是方程的實數根，亦即函數的圖象與軸交點的橫坐標．即：方程有實數根，函數的圖象與坐標軸有交點，函數有零點．