Question

已知函數f(x)=

2

sinωxcos(ωx+

π

4

)+

1

2

的最小正周期為2π．
（1）求ω的值；
（2）設△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若f(A)=

2

2

，b=1且△ABC的面積為1，求a．

Answer 1

分析：（1）利用和角公式展開，二倍角公式化簡函數的表達式，得到

2

2

sin（2ωx+

π

4

），通過周期求ω的值；
（2）根據函數的表達式，f(A)=

2

2

，b=1求出A的值，利用△ABC的面積為1，求出c，然后利用余弦定理求a．

解答：解：函數f(x)=

2

sinωxcos(ωx+

π

4

)+

1

2

=sinωxcosωx-sin²ωx+

1

2

=

2

2

sin（2ωx+

π

4

）
（1）因為函數的周期為2π，所以T=

2π

|2ω|

=2π，ω=±

1

2

；
（2）由（1）知f（x）=

2

2

sin（±x+

π

4

），因為f(A)=

2

2

，所以

2

2

sin（±A+

π

4

）=

2

2

，
sin（±A+

π

4

）=1，△ABC的內角A∈（0，π）∴A=

π

4

，△ABC的面積為1，所以

1

2

bcsin

π

4

=1，c=2

2

，
由余弦定理得：a=

b2+c2-2bccosA

=

5

．

點評：本題是基礎題，考查三角函數的化簡求值，二倍角公式、兩角和的正弦函數的公式的應用，余弦定理的應用，考查計算能力．