Question

設雙曲線，點A、B分別為雙曲線C實軸的左端點和虛軸的上端點，點F₁、F₂分別為雙曲線C的左、右焦點，點M、N是雙曲線C的右支上不同兩點，點Q為線段MN的中點．已知在雙曲線C上存在一點P，使得．
（Ⅰ）求雙曲線C的離心率；
（Ⅱ）設a為正常數，若點Q在直線y=2x上，求直線MN在y軸上的截距的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題設知．．設點P（x，y），則有，．由此推導出c=3a，可得離心率；
（Ⅱ）由題意知c=3a，則b²=c²-a²=8a²．若MN⊥x軸，則Q在x軸上，不合題意．設直線MN的方程為y=kx+m，代入，得8x²-（kx+m）²=8a²，即（8-k²）x²-2kmx-m²-8a²=0．若k²=8，則MN與雙曲線C的漸近線平行，不合題意．設點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x，y），由根與系數的關系能夠推導出直線MN在y軸上的截距的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）由題設，點A（-a，0），B（0，b），F₁（-c，0），F₂（c，0），其中．（1分）
因為，則．
設點P（x，y）
，則，所以，．（3分）
因為點P在雙曲線上，所以，即（c-a）²=4a²．（4分）
因為c＞a，所以c-a=2a，即c=3a，故離心率．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知c=3a，則b²=c²-a²=8a²．（7分）
若MN⊥x軸，則Q在x軸上，不合題意．
設直線MN的方程為y=kx+m，代入，得8x²-（kx+m）²=8a²，即（8-k²）x²-2kmx-m²-8a²=0．（*）（9分）
若k²=8，則MN與雙曲線C的漸近線平行，不合題意．
設點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x，y），則，，．（10分）
若點Q在直線y=2x上，則．
因為點M、N在雙曲線的右支上，所以m≠0，從而k=4．（11分）
此時，方程（*）可化為8x²+8mx+m²+8a²=0．
由△=8²m²-4×8（m²+8a²）＞0，得m²＞8a²．（12分）
又M、N在雙曲線C的右支上，則x₁+x₂=-m＞0，所以．
故直線MN在y軸上的截距的取值范圍是．（13分）
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要注意公式的靈活運用．