Question

如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB₁=3a，D是A₁C₁的中點，點F在線段AA₁上，當AF=

a或2a

時，CF⊥平面B₁DF．

Answer 1

分析：利用已知條件判斷B₁D⊥平面AC₁，然后說明CF⊥DF．設AF=x（0＜x＜3a），通過CF²=x²+4a²，DF²=a²+（3a-x）²，又CD²=a²+9a²=10a²，求出x即可．

解答：解：由已知得B₁D⊥平面AC₁，
又CF?平面AC₁，∴B₁D⊥CF，
故若CF⊥平面B₁DF，則必有CF⊥DF．
設AF=x（0＜x＜3a），則CF²=x²+4a²，
DF²=a²+（3a-x）²，又CD²=a²+9a²=10a²，
∴10a²=x²+4a²+a²+（3a-x）²，
解得x=a或2a．
故答案為：a或2a．

點評：本題考查直線與平面的位置關系，考查空間想象能力以及計算能力．