Question

【題目】已知函數， ， ，

（1）求證：函數在點處的切線恒過定點，并求出定點的坐標；

（2）若在區間上恒成立，求的取值范圍；

（3）當時，求證：在區間上，滿足恒成立的函數有無窮多個．（記）

Answer 1

【答案】(1) 切線恒過定點．(2) 的范圍是 (3) 在區間上，滿足恒成立函數有無窮多個

【解析】試題分析：（1）根據導數的幾何意義求得切線方程為，故過定點；（2）根據的取值的不同情況分類討論處理，最后得的范圍是；（3）見解析。

試題解析：

（1）因為，所以在點處的切線的斜率為，

所以在點處的切線方程為，

整理得，所以切線恒過定點．

（2）令 ，對恒成立，

因為

令，得極值點， ，

①當時，有，即時，在上有，

此時在區間上是增函數，并且在該區間上有，不合題意；

②當時，有，同理可知， 在區間上，有，也不合題意；

③當時，有，此時在區間上恒有，

從而在區間上是減函數；

要使在此區間上恒成立，只須滿足，

所以．

綜上可知的范圍是．

（利用參數分離得正確答案扣2分）

（3）當時， ，

記， ．

因為，

令，得

所以在為減函數，在上為增函數，

所以當時，

設，則，

所以在區間上，滿足恒成立函數有無窮多個