Question

19、用0，1，2，3，4這五個數字，可以組成多少個滿足下列條件的沒有重復的五位數．
（1）被4整除；
（2）比21034大的偶數；
（3）左起第二、四位是奇數的偶數．

Answer 1

分析：（1）數字排列問題，0不能排首位，特殊元素（特殊位置）應優先考慮；
（2）合理分類或分步，做到不重不漏；
（3）正難則反，注意間接法的應用．

解答：解：（1）被4整除的數，其特征應是末兩位數是4的倍數，
可分兩類：當末兩位數是20，40，04時，
其排列數為3A₃³=18個，當末兩位數是12，24，32時，
其排列數為3•A₂¹A₂²=12個，故滿足條件的五位數共有3A₃³+3A₂¹A₂²=30個．
（2）法一：可分五類，當末位數是0，而首位數是2時，有A₂¹A₂²+A₂²=6個；
當末位數字是0，而首位數字是3或4時，有A₂¹A₃³=12個；
當末位數字是2，而首位數字是3或4時，有A₂¹A₃³=12個；當末位數字是4，
而首位數字是2時，有A₂²+A₁¹=3個；當末位數字是4，而首位數字是3時，有A₃³=6個．
故有（A₂¹A₂²+A₂²）+A₂¹A₃³+A₂¹A₃³+A₂²+A₁¹+A₃³=39個．
法二：不大于21034的偶數可分為三類：萬位數字為1的偶數，有A₃¹A₃³=18個；
萬位數字為2，而千位數字是0的偶數，有A₂¹個；還有21034本身．
而由0，1，2，3，4組成的五位偶數有A₄⁴+A₂¹A₃³A₆³=60個．
故滿足條件的五位偶數共有60-A₃¹A₃³-A₂¹-1=39個．
（3）法一：可分兩類，0是末位數，有A₂²A₂²=4個，2或4是末位數，
有A₂²A₂¹4個．故共有A₂²A₂²+A₂²A₂¹=8個．
法二：第二、四位從奇數1，3中取，有A₂²；
首位從2，4中取，有A₂¹個；余下的排在剩下的兩位，有A₂²個，
故共有A₂²A₂¹A₂²=8個．

點評：本題考查有限制條件問題的計數問題，要注意對特殊元素或者特殊位置進行優先考慮，注意分類加法原理和分步乘法原理的運用，考查學生的分類討論思想．