Question

如圖，兩個邊長為1的正方形ABCD與ABEF相交于AB，∠EBC=90°，M，N分別是BD，AE上的點，且AN=DM．
（1）求證：MN∥平面EBC；
（2）求MN長度的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先分別以BA，BC，BE為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，然后確定點M、N的坐標，進而確定的坐標，再找到平面EBC的一個法向量，并確定它的坐標，最后計算為0即可．
（2）由的坐標表示出其長度，再利用配方法即可求出它的最小值．
解答：（1）證明：依題意可分別以BA，BC，BE為x軸，y軸，z軸建立；
如圖所示空間直角坐標系，
因為正方形ABCD與ABEF的邊長為1，且AN=DM，
所以設BM=x，則NE=x，NA=-x，且x，
所以M（x，x，0），N（x，0，1-x），
所以=（0，-x，1-x），
因為平面EBC的一個法向量為=（1，0，0）
所以=0，即，
又MN?平面EBC，所以MN∥平面EBC．
（2）解：由（1）=（0，-x，1-x），得
||==，
又x∈[0，]，所以當x=時，||_min=．
即MN長度的最小值為．
點評：本題主要考查向量法解決立體幾何問題．