Question

【題目】已知函數(shù)，曲線在點處的切線與軸交點的橫坐標(biāo)為.

（1）求；

（2）證明：當(dāng)時，曲線與直線只有一個交點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析．

【解析】

試題（1），由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，故切線方程為，將點代入求；（2）曲線與直線只有一個交點轉(zhuǎn)化為函數(shù)有且只有零點．一般思路往往利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點，從而判斷函數(shù)大致圖象，再說明與軸只有一個交點．本題首先入手點為，當(dāng)時，，且，，所以在有唯一實根．只需說明當(dāng)時無根即可，因為，故只需說明，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題處理．

（1），．曲線在點處的切線方程為．由題設(shè)得，，所以．

（2）由（1）得，．設(shè)．由題設(shè)得．當(dāng)時，，單調(diào)遞增，，，所以在有唯一實根．當(dāng)時，令，則．，在單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增．所以．所以在沒有實根，綜上，在上有唯一實根，即曲線與直線只有一個交點．