Question

給出下列四個結論：
①當a為任意實數時，直線（a-1）x-y+2a+1=0恒過定點P，則過點P且焦點在y軸上的拋物線的標準方程是x2=

4

3

y；
②已知雙曲線的右焦點為（5，0），一條漸近線方程為2x-y=0，則雙曲線的標準方程是

x2

5

-

y2

20

=1；
③拋物線y=ax2(a≠0)的準線方程為y=-

1

4a

；
④已知雙曲線

x2

4

+

y2

m

=1，其離心率e∈（1，2），則m的取值范圍是（-12，0）．
其中所有正確結論的個數是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：對于①，先救出直線恒過的定點，再求出符合條件的拋物線方程，判斷得①正確；②中根據漸近線方程求得a和b的關系進而根據焦距求得a和b，橢圓方程可得．③把拋物線方程整理成標準方程，進而根據拋物線的性質可得拋物線的準線方程．④根據離心率的范圍求得m的取值范圍判斷④正確．

解答：解：①整理直線方程得（x+2）a+（1-x-y）=0，可知直線（a-1）x-y+2a+1=0恒過定點P（-2，3），故符合條件的方程是 x2=

4

3

y，則①正確；
②依題意知

b

a

=2，a²+b²=25，得a=

5

，b=2

5

，則雙曲線的標準方程是

x2

5

-

y2

20

=1，故可知結論②正確．
③拋物線方程得x²=

1

a

y，可知準線方程為 y=-

1

4a

，故③正確．
④離心率1＜e=

4-m

2

＜2，解得-12＜m＜0，又m＜0，，故m的范圍是-12＜m＜0，④正確，
故其中所有正確結論的個數是：4
故選D．

點評：本小題主要考查拋物線的標準方程及性質、雙曲線的標準方程及性質、不等式的解法等基礎知識，考查數形結合思想．屬于基礎題．