Question

對函數y=f(x)定義域中任一個x的值均有f(x+a)=f(a－x),
(1)求證y=f(x)的圖像關于直線x=a對稱；
(2)若函數f(x)對一切實數x都有f(x+2)=f(2－x),且方程f(x)=0恰好有四個不同實根，求這些實根之和。

Answer 1

(1) 證明略(2) f(x)=0的四根之和為8

 設(x₀,y₀)是函數y=f(x)圖像上任一點，則y₀=f(x₀),
∵=a,　∴點(x₀,y₀)與(2a－x₀,y₀)關于直線x=a對稱，
又f(a+x)=f(a－x),
∴f(2a－x₀)=f［a+(a－x₀)］=f［a－(a－x₀)］=f(x₀)=y₀,
∴(2a－x₀,y₀)也在函數的圖像上，
故y=f(x)的圖像關于直線x=a對稱.
(2)解：由f(2+x)=f(2－x)得y=f(x)的圖像關于直線x=2對稱，
若x₀是f(x)=0的根，則4－x₀也是f(x)=0的根，
若x₁是f(x)=0的根，則4－x₁也是f(x)=0的根，
∴x₀+(4－x₀)+ x₁+(4－x₁)=8
即f(x)=0的四根之和為8.