Question

【題目】四棱柱中，底面為正方形， 平面為棱的中點， 為棱的中點， 為棱的中點.

（1）證明：平面平面；

（2）若，棱上有一點，且，使得二面角的余弦值為，求的值.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) .

【解析】試題分析： 四邊形為平行四邊形得，由中點得，

又， 得證 以為原點， 方向分別為軸、軸、軸正方向，建立如圖所示的空間垂直坐標系，求平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，代入公式求出結果

解析：（1）分別為棱中點，

，

四邊形為平行四邊形，

，

又平面，

平面.

為棱的中點，

，

又，

，

平面，

平面.

又，

平面.

（2）由題意知兩兩垂直，以為原點， 方向分別為軸、軸、軸正方向，建立如圖所示的空間垂直坐標系，

設，則，

設，則由，

得，

設平面的一個法向量為，則取，

則，

設平面的一個法向量為，則取，

則，

由題知，

解得或（與矛盾，舍去），

故.