Question

已知橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，P為C₁上任一點(diǎn)，MN是圓C_2：x²+（y-3）²=1的一條直徑，若與AF平行且在y軸上的截距為3-

2

的直線l恰好與圓C₂相切．
（Ⅰ）已知橢圓C₁的離心率；
（Ⅱ）若

PM

•

PN

的最大值為49，求橢圓C₁的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ先得出直線l的方程，再由直線與圓相切得a²=2c²，從而求得離心率；
（II）設(shè)P（x，y）由

PM

•

PN

的最大值為49，求得c的值，從而求得橢圓方程．

解答：解：（Ⅰ）由題意可知直線l的方程為bx+cy-(3-

2

)c=0，
因?yàn)橹本�與圓c₂：x²+（y-3）²=1相切，所以d=

|3c-3c+ 2c |

b2+c2

=1，即a²=2c²，
從而e=

2

2

；（6分）
（Ⅱ）設(shè)P（x，y）、圓C₂的圓心記為C₂，則

x2

2c2

+

y2

c2

=1（c＞0），又

PM

•

PN

=(

PC2

+

C2M)

•(

PC2

+

C2N

)=

PC2

2-

C2N

2=x²+（3-y）²-1=-（y+3）²+2c²+17（-c≤y≤c）．（8分）
j當(dāng)c≥3時(shí)，(

PM

•

PN

)MAX=17+2c2=49，解得c=4，此時(shí)橢圓方程為

x2

32

+

y2

16

=1；
k當(dāng)0＜c＜3時(shí)，(

PM

•

PN

)MAX=-(-c+3)2+17+2c2=49，
解得c=5

2

-3但c=5

2

-3＞3，故舍去．
綜上所述，橢圓的方程為

x2

32

+

y2

16

=1．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線、圓、橢圓的基本性質(zhì)及位置關(guān)系的應(yīng)用，滲透向量、函數(shù)最值等問題，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力．