Question

（2011•綿陽一模）等比數列{a_n}的各項均為正數，且a₁+6a₂=1，a₂²=9a₁•a₅，．
（I ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設a₁•a₂•a₃…a_n=3

1

bn

，求數列{b_n}的前n項和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設{an}的公比為q，則q＞0，由已知有

a1+6a1q=1 (a1q)2=9(a1•a1q4)

，解方程可求a₁，q，進而可求通項
（Ⅱ）由（I）可知，3

1

bn

=

1

3

•(

1

3

)2•(

1

3

)3…(

1

3

)n=3

-n(n+1)

2

，則可得，

1

bn

=-

n(n+1)

2

，利用裂項可求和

解答：解：（Ⅰ）設{an}的公比為q，則q＞0，
由已知有

a1+6a1q=1 (a1q)2=9(a1•a1q4)

可解得q=

1

3

（q=-

1

3

舍去），a1=

1

3

．
∴an=

1

3

•(

1

3

)n-1=(

1

3

)n．  …（6分）
（Ⅱ）∵3

1

bn

=

1

3

•(

1

3

)2•(

1

3

)3…(

1

3

)n
=(

1

3

)1+2+3+…+n=(

1

3

)

2(n+1)

2

=3

-n(n+1)

2

∴

1

bn

=-

n(n+1)

2

，
即bn=-

2

n(n+1)

=-2(

1

n

-

1

1+n

)．…（9分）
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=-2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

1+n

)
=-2（1-

1

1+n

）=-

2n

n+1

． …（12分）

點評：本土主要考查了利用基本量a₁，q表示等比數列的項，這也是高考在數列部分最基本的考查試題類型，及裂項求數列的和，要注意裂項時不要漏掉系數．