Question

【題目】《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，，底面．

(1)求證：平面．試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角(只需寫出結論)；若不是，說明理由；

(2)若，求點A到平面的距離．

Answer 1

【答案】（1）四面體是一個鱉臑，其四個面的直角分別為，，，（2）

【解析】

（1）利用線面垂直的判定定理進行證明，根據(jù)“鱉臑”定義進行判斷即可；

（2）利用等體積轉化方法求解．

(1)因為，，由余弦定理得．

從而，故．

由平面，可得．

因為，所以平面．

由平面，平面，可知四面體的四個面都是直角三角形，

即四面體是一個鱉臑，其四個面的直角分別為，，，．

(2)因為為平行四邊形，，，，

所以，，，．

所以的面積為．

在中，，，，所以．

在中，，，，

所以的面積為．

設點A到平面的距離為d，則三棱錐的體積為．

因為平面，所以三棱錐的體積為．

所以，，

即點A到平面的距離為．