Question

經研究發現，學生的接受能力依賴于老師引入概念和描述總量所用的時間，開始講題時，學生的興趣保持較理想的狀態，隨后學生的注意力開始分散．分析結果和實驗表明，用f（x）表示學生掌握和接受概念的能力，x表示提出和講授概念的時間（單位：分），有以下的公式：
f（x）=

0.1x2+2.6x+43 ，(0＜x≤10) 59 ，(10＜x≤16) -3x+107 ，(16＜x≤30)

（1）開講后5分鐘與開講后20分鐘比較，學生的接受能力何時強呢？
（2）開講后多少分鐘，學生的接受能力最強？能維持多長的時間？
（3）若講解這道數學題需要55的接受能力以及13分鐘的時間，老師能否及時在學生一直達到所需接受能力的狀態下講完這道題？

Answer 1

分析：（1）分別計算出f（5），f（20）再比較它們的大小f（5）、f（20）即可得出開講后5分鐘學生的接受能力比開講后20分鐘強．
（2）分兩類討論函數的最大值：①當0＜x≤10時，②當16＜x＜30時，從而得出開講后10鐘學生達到最強的接受能力，并維持6分鐘．
（3）分兩種情形討論：①當0＜x＜10時，②當16＜x＜30時，分別令f（x）＞55，求得相應x的取值范圍，得出結論：學生達到或超過55的接受能力的時間11.3分鐘，小于13分鐘，故這位老師不能在學生所需狀態下講完這道題．

解答：解：（1）f（5）=53.5，f（20）=47?f（5）＞f（20）?．
開講后5分鐘學生的接受能力比開講后20分鐘強．
（2）當0＜x≤10時，f（x）=-0.1（x-13）²+59.9?f（x）是增函數?最大值是
f（10）=59；當16＜x＜30時，f（x）是遞減的函數，
?f（x）＜f（16）=59，故開講后10鐘學生達到最強的接受能力，并維持6分鐘．
（3）當0＜x＜10時，令f（x）＞55，則6＜x＜10；
當16＜x＜30時，令f（x）＞55，則16＜x＜17.3
因此，學生達到或超過55的接受能力的時間11.3分鐘，
小于13分鐘，故這位老師不能在學生所需狀態下講完這道題．

點評：本題函數模型為分段函數，分段函數模型的構造中，自變量取值的分界是關鍵點，只有合理的分類，正確的求解才能成功地解題．但分類時要做到不重不漏．正確求出函數解析式后，利用函數的常規方法求解相關問題．求分段函數的最值，應先求出函數在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值為整個函數的最大值，取各部分的最小者為整個函數的最小值．