Question

已知a為實數，x=4是函數f（x）=alnx+x²-12x的一個極值點．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅲ）若直線y=b與函數y=f（x）的圖象有且僅有3個交點，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）對f（x）進行求導，根據x=4是函數f（x）=alnx+x²-12x的一個極值點，可得f′（4）=0，求出a的值；
（Ⅱ）把a的值代入f（x），并求出其導數，利用導數求出其單調區間，注意定義域；
（Ⅲ）根據f（x）的單調區間，我們可以畫出f（x）的草圖，利用數形結合的方法進行求解；

解答：解：（Ⅰ）∵函數f（x）=alnx+x²-12x，
∴f′（x）=

a

x

+2x-12，
∵x=4是函數f（x）=alnx+x²-12x的一個極值點，
∴f′（4）=0，得

a

4

+8-12=0，得a=16；
（Ⅱ）當a=16時，f（x）=16lnx+x²-12x，f′（x）=

16

x

+2x-12=

2(x-2)(x-4)

x

，
當f′（x）＞0時，可得x＞4或者0＜x＜2；
當f′（x）＜0時，可得2＜x＜4；
∴函數f（x）的單調增區間為：（4，+∞），（0，2）；
函數f（x）的單調減區間為：（2，4）；
（Ⅲ）直線y=b與函數y=f（x）的圖象有且僅有3個交點，f（4）=16ln4-32，f（2）=16ln2-20，
由（Ⅱ）知f（x）在x=2出去極大值，在x=4出取極小值，
畫出f（x）的草圖：
直線y=b與函數y=f（x）的圖象有且僅有3個交點，
∴直線y=b必須在直線l和直線n之間，
∴f（4）＜b＜f（2），
即161n4-32＜b＜16ln2-20，；

點評：此題主要考查函數在某點取得極值的條件，利用導數研究函數的單調性，還考查了數形結合的方法，將復雜的問題簡單化；