Question

已知向量

a

=(

1

2

，

1

2

sinx+

3

2

cosx)與

b

=(1，y)共線，且有函數y=f（x）．
（Ⅰ）求函數y=f（x）的周期與最大值；
（Ⅱ）已知銳角△ABC的三個內角分別是A、B、C，若有f(A-

π

3

)=

3

，邊BC=

7

，sinB=

21

7

，求AC的長．

Answer 1

分析：由兩向量共線，得到兩向量平行，利用兩向量的坐標列出關系式，利用兩角和與差的正弦函數公式整理得到f（x）的解析式，
（Ⅰ）找出ω的值，代入周期公式即可求出函數的最小正周期；由正弦函數的值域即可求出函數的最大值；
（Ⅱ）由f（A-

π

3

）=

3

，根據f（x）的解析式，得到sinA的值，再由sinB及BC的值，利用正弦定理即可求出AC的長．

解答：解：∵向量

a

=(

1

2

，

1

2

sinx+

3

2

cosx)與

b

=(1，y)共線，
∴

a

∥

b

，即

1

2

y-（

1

2

sinx+

3

2

cosx）=0，
∴y=f（x）=2sin（x+

π

3

），
（Ⅰ）∵ω=1，∴T=

2π

1

，
∵-2≤2sin（x+

π

3

）≤2，
則f（x）的周期為2π，函數的最大值為2；
（Ⅱ）由f（A-

π

3

）=

3

，得2sin（A-

π

3

+

π

3

）=

3

，即sinA=

3

2

，
∵BC=

7

，sinB=

21

7

，
∴由正弦定理

BC

sinA

=

AC

sinB

得：AC=

BCsinB

sinA

=

7 × 21 7

3 2

=2．

點評：此題考查了正弦定理，平面向量數量積運算法則，正弦函數的定義域與值域，兩角和與差的正弦函數公式，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．