Question

A、B兩位同學(xué)各有五張卡片，現(xiàn)以投擲均勻硬幣的形式進(jìn)行游戲，當(dāng)出現(xiàn)正面朝上時(shí)A贏得B一張卡片，否則B贏得A一張卡片．規(guī)定擲硬幣的次數(shù)達(dá)9次時(shí)，或在此前某人已贏得所有卡片時(shí)游戲終止．設(shè)ξ表示游戲終止時(shí)擲硬幣的次數(shù)．
（1）求ξ的取值范圍；
（2）求ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出硬幣正面出現(xiàn)的次數(shù)和出現(xiàn)反面的次數(shù)，根據(jù)題意列出不等式組，討論m，n取值不同時(shí)，得到的對(duì)應(yīng)的ξ的值，結(jié)果ξ的可能取值是5，7，9
（2）ξ表示游戲終止時(shí)擲硬幣的次數(shù)，由第一問知ξ的所有可能取值為：5，7，9．根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式得到變量對(duì)應(yīng)的概率，做出ξ的數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（1）設(shè)正面出現(xiàn)的次數(shù)為m，反面出現(xiàn)的次數(shù)為n，
則

|m-n|=5 m+n=ξ 1≤ξ≤9

，
可得：當(dāng)m=1，n=0或m=0，n=5時(shí)，ξ=5；
當(dāng)m=6，n=1或m=1，n=6時(shí)，ξ=7；
當(dāng)m=7，n=2或m=2，n=7時(shí)，ξ=9；
∴ξ的所有可能取值為：5，7，9．
（2）ξ表示游戲終止時(shí)擲硬幣的次數(shù)，由題意知ξ的所有可能取值為：5，7，9．
根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式得到
P（ξ=5）=2×(

1

2

)5=

2

32

=

1

16

；
P（ξ=7）=2

C

1 5

(

1

2

)7=

5

64

；
P（ξ=9）=1-

1

16

-

5

64

=

55

64

；
∴Eξ=5×

1

16

+7×

5

64

+9×

55

64

=

275

32

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的期望，考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式，考查分類討論思想，考查利用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，這種題目是近幾年高考題目中經(jīng)常出現(xiàn)的題型．