Question

【題目】如圖，在直角△ABC中，AB⊥BC，D為BC邊上異于B、C的一點(diǎn)，以AB為直徑作⊙O，并分別交AC，AD于點(diǎn)E，F(xiàn)．

（1）證明：C，E，F(xiàn)，D四點(diǎn)共圓；
（2）若D為BC的中點(diǎn)，且AF=3，F(xiàn)D=1，求AE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結(jié)EF，BE，則∠ABE=∠AFE，因?yàn)锳B是⊙O是直徑，

所以，AE⊥BE，又因?yàn)锳B⊥BC，∠ABE=∠C，

所以∠AFE=∠C，即∠EFD+∠C=180°，

∴C，E，F(xiàn)，D四點(diǎn)共圓．

（2）解：因?yàn)锳B⊥BC，AB是直徑，

所以，BC是圓的切線，DB2=DFDA=4，即BD=2，

所以，AB= =2 ，

因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以BC=4，AC= =2 ，

因?yàn)镃、E、F、D四點(diǎn)共圓，所以AEAC=AFAD，

即2 AE=12，即AE=

【解析】（1）連結(jié)EF，BE，說明AB是⊙O是直徑，推出∠ABE=∠C，然后證明C，E，F(xiàn)，D四點(diǎn)共圓．（2）利用切割線定理求解BD，利用C、E、F、D四點(diǎn)共圓，得到AEAC=AFAD，然后求解AE．