Question

隨著環保理念的深入，用建筑鋼材余料創作城市雕塑逐漸流行．下圖是其中一個抽象派雕塑的設計圖．圖中α表示水平地面，線段AB表示的鋼管固定在α上；為了美感，需在焊接時保證：線段AC表示的鋼管垂直于α，BD⊥AB，且保持BD與AC異面．
（1）若收集到的余料長度如下：AC=BD=24（單位長度），AB=7，CD=25，按現在手中的材料，求BD與α應成的角；
（2）設計師想在AB，CD中點M，N處再焊接一根連接管，然后掛一個與AC，BD同時平
行的平面板裝飾物．但他擔心此設計不一定能實現．請你替他打消疑慮：無論AB，CD多長，焊接角度怎樣，一定存在一個過MN的平面與AC，BD同時平行（即證明向量

MN

與

AC

，

BD

共面，寫出證明過程）；
（3）如果事先能收集確定的材料只有AC=BD=24，請替設計師打消另一個疑慮：即MN要準備多長不用視AB，CD長度而定，只與θ有關（θ為設計的BD與α所成的角），寫出MN與θ的關系式，并幫他算出無論如何設計MN都一定夠用的長度．

Answer 1

分析：（1）設D在α上的射影為H，過D作DK⊥AC于K，可得AHDK為矩形，計算DH，即可求得BD與α所成的角是30°．
（2）由共面向量的判定定理得到量

MN

與

AC

，

BD

共面，即可得到結論；
（3）由

MN

=

1

2

(

AC

+

BD

)，求模長，即可得到結論．

解答：解：（1）設D在α上的射影為H

∵AC⊥α，DH⊥α，∴AC∥∥DH，∴AC，DH共面，
∴過D作DK⊥AC于K，
∴AHDK為矩形，
設DH=h，則（AC-h）²+AH²=CD²，①
由三垂線定理易知BH⊥AB
∴AH²=AB²+BH²=AB²+（BD²-h²）②
將②代入①，得：（24-h）²+7²+（24²-h²）=25²，解得h=12，
于是sin∠DBH=

1

2

，
∴∠DBH=30°，即BD與α所成的角是30°．
（2）由向量加法的三角形法則

MN

=

MA

+

AC

+

CN

，

MN

=

MB

+

BD

+

DN

，
兩式相加即得

MN

=

1

2

(

AC

+

BD

)．
∴由共面向量的判定定理得到量

MN

與

AC

，

BD

共面．
從而一定存在一個過MN的平面與AC，BD同時平行
（3）∵

MN

=

1

2

(

AC

+

BD

)
∴|

MN

|2=

1

4

|

AC

|2+

1

4

BD

2+

1

2

AC

•

BD

=288（1+sinθ）（單位長度）
∵θ∈（0，

π

2

），
∴

MN

∈(14

2

，28)，即MN準備28（單位長度）就一定夠用．

點評：本題考查線面角，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．