Question

如圖所示，一個空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長為2的正方形，俯視圖是一個直徑為2的圓，那么這個幾何體的內接長方體的最大體積為

4

．

Answer 1

分析：根據題意，該幾何體是底面直徑與高都等于2的圓柱，內接長方體的高等于2，底面是圓柱底面圓的內接矩形．利用圓內接矩形的性質與基本不等式，算出當矩形的兩邊長都為

2

時，底面矩形有最大面積2，由此可得該幾何體的內接長方體的最大體積．

解答：解：根據題中的三視圖，可得該幾何體是底面直徑與高都等于2的圓柱，
幾何體的內接長方體的高等于圓柱的高，底面矩形是圓柱底面圓的內接矩形，
由于圓柱的高為定值2，可得當底面矩形面積最大時，內接長方體的體積有最大值．
設長方體的底面矩形的一邊長為x，則另一邊長為

22-x2

=

4-x2

，
∴矩形的面積S=x

4-x2

=

x2•(4-x2)

≤

1

2

[x²+（4-x²）]=2，
當且僅當x²=4-x²即x=

2

時，等號成立．因此矩形的兩邊長都為

2

時，矩形有最大面積2，
可得內接長方體的最大體積為V_max=s_max×h=2×2=4
故答案為：4

點評：本題給出圓柱的三視圖的形狀，求圓柱內接長方體的最大體積．著重考查了柱體的體積公式、三視圖的認識、圓內接矩形的性質和基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．