Question

設，．證明：當且僅當時，存在數列滿足以下條件：
（�。�，；
（ⅱ）存在；
（ⅲ），．

Answer 1

[證] 必要性：假設存在滿足（�。�，（ⅱ），（iii）．注意到（ⅲ）中式子可化為
，，
其中．
將上式從第1項加到第項，并注意到得
．              
由（ⅱ）可設，將上式取極限得


，
因此．                                                          
充分性：假設．定義多項式函數如下：
，，
則在[0,1]上是遞增函數，且
，．
因此方程在[0,1]內有唯一的根，且，即．   
下取數列為，，則明顯地滿足題設條件（ⅰ），且 ．
因，故，因此，即的極限存在，滿足（ⅱ）．                                                              
最后驗證滿足（ⅲ），因，即，從而
．
綜上，已證得存在數列滿足（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ）．          

解析見答案