Question

已知拋物線C的方程為x²=4y．設動點E（a，-2 ），其中a∈R，過點E分別作拋物線C的兩條切線EA，EB，切點為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
（1）求證：A，E，B三點的橫坐標依次成等差數列；
（2）求直線AB經過的定點坐標．

Answer 1

分析：（1）通過導數求出過A，E的切線方程，利用韋達定理說明A，E，B三點的橫坐標依次成等差數列；
（2）求出AB的中點坐標，推出AB的方程，利用直線系求直線AB經過的定點坐標．

解答：解：（1）∵x²=4y．∴y=

x2

4

∴y′=

1

2

x，
過點A的拋物線切線方程為：y=

x 2 1

4

=

1

2

x₁（x-x₁），因為切點過E點，
∴-2-

x 2 1

4

=

1

2

x₁（a-x₁），整理得x₁²-2ax₁-8=0，
同理可得x₂²-2ax₂-8=0，
x₁，x₂是方程x²-2ax-8=0的兩個根，x₁+x₂=2a，x₁•x₂=-8．
A，E，B三點的橫坐標依次成等差數列；
（2）可得AB的中點為（a，

a2+4

2

），
KAB=

y1-y2

x1-x2

=

x 2 1 4 - x 2 2 4

x1- x2

=

x1-x2

4

=

a

2

，
∴直線AB的方程為y-(

a2

2

+2) =

a

2

(x-a)，
即y =

a

2

x+2∴AB過定點（1，2）．

點評：本題是中檔題，考查直線與圓錐曲線的位置關系，考查導數的應用，直線過定點的問題，考查計算能力．