Question

（本小題15分）

設數列{}的前n項和為，并且滿足，（n∈N*）.

（Ⅰ）求，，；

（Ⅱ）猜想{}的通項公式，并用數學歸納法加以證明；

（Ⅲ）設，，且，證明：≤.

Answer 1

（本小題15分）

解：（Ⅰ）分別令，2，3，得

       ∵，∴，，.

   （Ⅱ）證法一：猜想：，由            ①

        可知，當≥2時，   ②

        ①-②，得  ，即.

        1）當時，，∵，∴；

        2）假設當（≥2）時，.

          那么當時，

              ，

              ∵，≥2，∴，

              ∴.

          這就是說，當時也成立，

          ∴（≥2）.  顯然時，也適合.

         故對于n∈N*，均有

（Ⅲ）要證≤，

     只要證≤，

     即≤，

 將代入，得≤，w.w.w.k.s.5 u.c.o.m

即要證≤，即≤1.

∵，，且，∴≤,

即≤，故≤1成立，所以原不等式成立.