Question

【題目】函數.

（1）若函數的圖象在處的切線過，求的值；

（2）在恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）.

【解析】

（1）先對函數求導，得到，根據題意，得到，推出，設，，對其求導，研究其單調性，求出最小值，即可得出結果；

（2）先由題意，將在恒成立，轉化為在恒成立，設，，對其求導，分，，三種情況討論，研究其單調性，得到其大致范圍，即可得出結果.

（1）因為，所以，

由于在處的切線過，

所以，即，

化簡得，即，

設，，則，

由得；由得；

從而在單調遞增，再單調遞減；因此，

所以有唯一根；

(2)由得，因為，所以，

因此，在恒成立，即是在恒成立；

設，，

則，

當時，，此時恒成立，

所以單增，因此，滿足題意；

當時，顯然恒成立，此時單增，

所以，也滿足題意；

當時，由得，，

所以方程必有兩不等實根，不妨設為，

由根與系數關系，，所以方程在有唯一根，

即在有唯一根，所以易得：在單減，單增，

則，與題意矛盾，不成立；

綜上，.