Question

在平面直角坐標系xoy中，已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

3

2

，且過點(

3

，

1

2

)．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）設橢圓E的左右頂點分別為A₁，A₂，上頂點為B，圓C與以線段OA₂為直徑的圓關于直線A₁B對稱，
①求圓C的標準方程；
②設點P是圓C上的動點，求△PA₁B的面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

3

2

，且過點(

3

，

1

2

)，建立方程組，可求橢圓的幾何量，從而可得橢圓方程；
（2）①由題意A₁（-2，0），A₂（2，0），B（0，1），從而可得以線段OA₂為直徑的圓的圓心坐標為（1，0），半徑為1
求出（1，0）關于直線A₁B的方程的對稱點，即可求得圓C的標準方程；
②由于A₁B=

4+1

=

5

，所以△PA₁B的面積最大時，P到A₁B的距離最大，當且僅當P到A₁B的距離最大值為C到A₁B的距離加上半徑，從而可得△PA₁B的面積的最大值．

解答：解：（1）由題意，∵橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

3

2

，且過點(

3

，

1

2

)，
∴

c a = 3 2 3 a2 + 1 4 b2 =1 a2=b2+c2

，∴

a2=4 b2=1

∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1；
（2）①由題意A₁（-2，0），A₂（2，0），B（0，1）
∴以線段OA₂為直徑的圓的圓心坐標為（1，0），半徑為1
直線A₁B的方程為

x

-2

+y=1，即x-2y+2=0
設C（m，n），則

n m-1 × 1 2 =-1 m+1 2 -2× n 2 +2=0

，∴m=-2，n=

3

2

∴圓C的標準方程為（x+2）²+（y-

3

2

）²=1；
②∵A₁B=

4+1

=

5

，∴△PA₁B的面積最大時，P到A₁B的距離最大
當且僅當P到A₁B的距離最大值為C到A₁B的距離加上半徑，即

|-2-2× 3 2 +2|

5

+1=

3

5

+1
∴△PA₁B的面積的最大值為

1

2

×

5

×(

3

5

+1)=

3+ 5

2

．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查圓的方程，考查點的對稱性，考查三角形面積的計算，確定△PA₁B的面積最大時，P到A₁B的距離最大是關鍵．