Question

已知曲線C的極坐標方程是ρ²（1+3sin²θ）=4，直線l的參數方程是

x=6- 2 5 5 t y= 5 5 t

（t為參數）．
（1）求曲線C和直線l的直角坐標方程；
（2）設點M為曲線C上任一點，求M到直線l的距離的最大值．

Answer 1

分析：（1）由ρ²（1+3sin²θ）=4，知ρ²（cos²θ+4sin²θ）=4，所以x²+4y²=4，由此能求出曲線C的直角坐標方程．由l的參數方程是

x=6- 2 5 5 t y= 5 5 t

（t為參數），知x=6-

2 5

5

•

5

y，由此能求出直線l的直角坐標方程．
（2）設M（2cosθ，sinθ），則M到直線l的距離d=

|2cosθ+2sinθ-6|

5

=

|2sin(θ+ π 4 )-6|

5

，由此能求出M到直線l的距離的最大值．

解答：解：（1）∵ρ²（1+3sin²θ）=4，
∴ρ²（cos²θ+4sin²θ）=4，
∴x²+4y²=4，
∴C：

x2

4

+y2=1．
∵l的參數方程是

x=6- 2 5 5 t y= 5 5 t

（t為參數），
∴x=6-

2 5

5

•

5

y，
∴l：x+2y-6=0．
（2）設M（2cosθ，sinθ），
則M到直線l的距離d=

|2cosθ+2sinθ-6|

5

=

|2sin(θ+ π 4 )-6|

5

，
∴當sin(θ+

π

4

)=-1，
即θ=

5π

4

，M(-

2

，-

2

2

)時，
dmax=

6+2 2

5

=

6 5 +2 10

5

．

點評：本題考查曲線C和直線l的直角坐標方程的求法和求M到直線l的距離的最大值．解題時要認真審題，注意參數方程和直角坐標方程的相互轉化，合理地運用點到直線的距離公式進行解題．