Question

直線l過橢圓

x2

2

+y2=1的左焦點F，且與橢圓相交于P、Q兩點，M為PQ的中點，O為原點．若△FMO是以O(shè)F為底邊的等腰三角形，則直線l的方程為

y=±

2

2

(x+1)

．

Answer 1

分析：由橢圓的方程求出橢圓的左焦點，由題意可知直線l的斜率存在且不等于0，寫出直線l的方程，和橢圓方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系得到PQ中點M的橫坐標(biāo)，再由△FMO是以O(shè)F為底邊的等腰三角形得到M的橫坐標(biāo)，兩數(shù)相等求出k的值，則直線l的方程可求．

解答：解：由

x2

2

+y2=1，得a²=2，b²=1，所以c²=a²-b²=2-1=1．
則c=1，則左焦點F（-1，0）．
由題意可知，直線l的斜率存在且不等于0，
則直線l的方程為y=kx+k．
設(shè)l與橢圓相交于P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），
聯(lián)立

x2 2 +y2=1 y=kx+k

，得：（2k²+1）x²+4k²x+2k-2=0．
所以x1+x2=-

4k2

2k2+1

．
則PQ的中點M的橫坐標(biāo)為

x1+x2

2

=-

2k2

2k2+1

．
因為△FMO是以O(shè)F為底邊的等腰三角形，
所以-

2k2

2k2+1

=-

1

2

．解得：k=±

2

2

．
所以直線l的方程為y=±

2

2

(x+1)．
故答案為y=±

2

2

(x+1)．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了設(shè)而不求的方法，解答此題的關(guān)鍵是由△FMO是以O(shè)F為底邊的等腰三角形得到M點的橫坐標(biāo)，此題是中檔題．