Question

在三棱錐P—ABC中,給出下列四個命題:

①如果PA⊥BC,PB⊥AC,那么點P在平面ABC內(nèi)的射影是△ABC的垂心;

②如果點P到△ABC的三邊所在直線的距離都相等,那么點P在平面ABC內(nèi)的射影是△ABC的內(nèi)心;

③如果棱PA和BC所成角為60°,PA=BC=2,E、F分別是棱PB、AC的中點,那么EF=1;

④如果三棱錐P—ABC的各條棱長均為1,則該三棱錐在任意一個平面內(nèi)的射影的面積都不大于.

其中正確命題的序號是__________.

Answer 1

①④  作PO⊥面ABC，連結(jié)AO，BO，CO，

∵PA⊥BC，PB⊥AC，∴AO⊥BC，

BO⊥AC，∴O為△ABC的垂心,

故①正確.

②中若△ABC為鈍角三角形,點P在平面ABC的射影是△ABC的旁心,

∴②錯.

③中取AB中點M,連ME,MF,EF,則MEAP,MFBC,∴ME=MF=1,

∠EMF=60°或120°,故EF=1或3,

∴③錯.

對于④,把棱長為1的三棱錐放入一個棱長為的正方體中,如圖所示,顯然它在平面內(nèi)的射影最大的是底面正方形,其面積為,故④正確.∴只有①④符合要求.