Question

在R上定義運算△：x△y=x（1-y）若不等式（x-a）△（x+a）＜1，對任意實數x恒成立，則實數a的取值范圍是

 

，函數y=1-4x-2x²在（1，+∞）上的值域是

 

．

Answer 1

分析：（1）利用定義的運算建立函數關系式，解決恒成立問題轉化成圖象恒在x軸上方，解△＜0即可．
（2）利用配方法求區間內的最值，判定開口和對稱軸與區間的位置關系，研究出單調性就可求出值域．

解答：解：（1）根據運算法則得（x-a）△（x+a）=（x-a）（1-x-a）＜1
化簡得x²-x-a²+a+1＞0在R上恒成立，即△＜0，解得a∈(-

1

2

，

3

2

)
（2）y=1-4x-2x²=-2（x+1）²+3在（1，+∞）上是單調減函數
∴當x=1時y=-5，∴y=1-4x-2x²在（1，+∞）的值域是（-∞，-5）
故答案為：(-

1

2

，

3

2

)，（-∞，-5）

點評：本題主要考查了函數恒成立問題，以及函數的值域，題目比較新穎，定義了新的運算，屬于中檔題．