Question

設函數f（x）的定義域為R，若存在常數G＞0使|f(x)|≤

G

100

|x|對一切實數x均成立，則稱函數f（x）為G函數．現給出下列函數：
①f(x)=

2x2

x2-x+1

；
②f（x）=x²sinx；
③f（x）=2x（1-3^x）；
④f（x）是定義在R的奇函數，且對一切x₁，x₂，恒有|f（x₁）+f（x₂）|≤100|x₁+x₂|．
則其中是G函數的序號為

①④

．

Answer 1

分析：①x≠0時，|

f(x)

x

|=|

2x

x2-x+1

|=|

2

x+ 1 x -1

|≤2=

G

100

；
②x≠0時，|

f(x)

x

|=|xsinx|，不存在常數G＞0，使得|f(x)|≤

G

100

|x|成立；
③x≠0時，|

f(x)

x

|=|2（1-3^x）|＜2，不存在常數G＞0，使得|f(x)|≤

G

100

|x|成立；
④當x₂=0，因|f（x₁）+f（x₂）|≤100|x₁+x₂|得到|f（x）|≤100|x|成立，這樣的G存在
即可得到結論．

解答：解：①x≠0時，|

f(x)

x

|=|

2x

x2-x+1

|=|

2

x+ 1 x -1

|≤2=

G

100

，∴G=200，x=0也成立，故①為G函數；
②x≠0時，|

f(x)

x

|=|xsinx|，不存在常數G＞0，使得|f(x)|≤

G

100

|x|成立；
③x≠0時，|

f(x)

x

|=|2（1-3^x）|＜2，不存在常數G＞0，使得|f(x)|≤

G

100

|x|成立；
④當x₂=0，因|f（x₁）+f（x₂）|≤100|x₁+x₂|得到|f（x）|≤100|x|成立，這樣的G存在，故④正確；
故答案為：①④

點評：本題考查函數的最值及其幾何意義，考生需要有較強的分析問題解決問題的能力，對選支逐個加以分析變形，利用函數、不等式的進行檢驗，方可得出正確結論．