Question

【題目】已知直線l1經過點A（﹣3，0），B（3，2），直線l2經過點B，且l1⊥l2 ．
（1）求經過點B且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程；
（2）設直線l2與直線y=8x的交點為C，求△ABC外接圓的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：設經過點B且在兩坐標軸上的截距相等的直線為m，

①當直線m經過原點時，在兩坐標軸上的截距都為零，符合題意．

此時，直線m的方程為y= x；

②當直線m不經過原點時，設方程為 ，

將點B（3，2）代入，得 ，解之得a=5，

此時直線m的方程為 ，化簡得x+y﹣5=0．

綜上所述，直線m方程為y= x或x+y﹣5=0，即為所求直線的方程

（2）解：∵直線l1經過點A（﹣3，0），B（3，2），

∴直線l1的斜率k1= = ，

∵l1⊥l2，∴直線l2的斜率k2= =﹣3．

又∵直線l2經過點B（3，2），

∴直線l2的方程為y﹣2=﹣3（x﹣3），即y=﹣3x+11，

由 聯解，得 ，可得直線l2與直線y=8x的交點為C（1，8）．

設經過A、B、C三點的圓方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，

可得 ，解之得 ，

∴經過A、B、C三點的圓方程為x2+y2+2x﹣8y﹣3=0，即為△ABC外接圓的方程

【解析】（1）根據直線經過原點或不經過原點，分兩種情況加以討論，利用直線在坐標軸上截距的概念和直線方程的截距式，即可算出滿足條件的直線方程；（2）由A、B的坐標算出直線l1的斜率k1= ，從而得到l2的斜率k2= =﹣3，利用點斜式列式可得直線l2的方程為y=﹣3x+11．聯解直線l2與直線y=8x，算出交點為C（1，8），設△ABC外接圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入A、B、C的坐標解出D、E、F的值，即可得到所求△ABC外接圓的方程．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解截距式方程的相關知識，掌握直線的截距式方程：已知直線與軸的交點為A，與軸的交點為B，其中，以及對圓的標準方程的理解，了解圓的標準方程：；圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程．