Question

已知兩個等差數列{a_n}和{b_n}的前n項和分別為A_n和B_n，且

An

Bn

=

7n+45

n+3

，則使得

an

bn

為整數的正整數n的個數是（　　）

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

分析：充分利用等差數列前n項和與某些特殊項之間的關系解題．

解答：解：由等差數列的前n項和及等差中項，可得

an

bn

=

1 2 (a1+a2n-1)

1 2 (b1+b2n-1)

=

1 2 (2n-1)(a1+a2n-1)

1 2 (2n-1)(b1+b2n-1)

=

A2n-1

B2n-1

=

7(2n-1)+45

(2n-1)+3

=

14n+38

2n+2

=

7n+19

n+1

=7+

12

n+1

（n∈N^*），
故n=1，2，3，5，11時，

an

bn

為整數．故選D

點評：本題主要考查等差數列的性質、等差中項的綜合應用以及分離常數法，數的整除性是傳統問題的進一步深化，對教學研究有很好的啟示作用．
已知兩個等差數列{a_n}和{b_n}的前n項和分別為A_n和B_n，則有如下關系

an

bn

=

A2n-1

B2n-1

．