Question

設函數f（x）=x|x|定義在（-∞，+∞）上，則f（x）（　　）

A．既是偶函數，又是減函數

B．既是奇函數，又是減函數

C．既是偶函數，又是增函數

D．即是奇函數，又是增函數

Answer 1

分析：根據f（-x）=-f（x），可得函數f（x）為奇函數．先根據函數的解析式判斷函數f（x）在[0，+∞）上是增函數，再利用奇函數的性質可得函數f（x）在
（-∞，0）上也是增函數，且f（0）=0，從而得到函數f（x）=x|x|在（-∞，+∞）上是增函數．

解答：解：∵函數f（x）=x|x|定義在（-∞，+∞）上，∴f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x），
故函數f（x）為奇函數．
再根據當x≥0時，函數f（x）=x|x|=x²，是增函數，故函數f（x）在[0，+∞）上是增函數．
再根據奇函數的性質可得，函數f（x）在（-∞，0）上也是增函數，且f（0）=0，
故函數f（x）=x|x|在（-∞，+∞）上是增函數，
故選D．

點評：本題主要考查函數的單調性和奇偶性的判斷和證明，屬于中檔題．