Question

(1)四面體的一個頂點為A，從其它頂點和各棱的中點中取3個點，使它們和點A在同一個平面上，有多少種不同的取法？

(2)四面體的頂點和各棱中點共10個點，在其中取4個不共面的點，有多少種不同的取法？

Answer 1

答案：
解析：

解 (1)如圖，含頂點A的四面體的三個面上，除點A外都有5個點，從中取出3點必與點A共面，共有種取法． 　　含頂點A的三條棱上各有三個點，它們與所對棱的中點共面，共有3種取法，根據加法原理，與頂點A共面三點的取法有＋3＝33種． 　　(2)如圖，從10個點中取4個點的取法有種．除去四點共面的取法種數可以得到結果． 　　從四面體同一個面上的6點中取出的四點必定共面，有＝60種；四面體的每一條棱上三點與對棱中點共面，共有6種共面情形；從6條棱的中點中取4個點時有3種共面情形．(對棱中點連線兩兩相交且互相平分)，故4點不共面的取法為－(60＋6＋3)＝141種．