Question

設是定義在[-1，1]上的偶函數，的圖象與的圖象關于直線對稱，

且當x∈[ 2，3 ] 時， ．

（1）求的解析式；

（2）若在上為增函數，求的取值范圍；

（3）是否存在正整數，使的圖象的最高點落在直線上？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）當x∈[-1，0]時，2-x∈[2，3]，f(x)=g(2-x)= -2ax+4x³；當x∈時，f(x)=f(-x)=2ax-4x³，

      ∴………………………………………4分

      （2）由題設知，＞0對x∈恒成立，即2a-12x²＞0對x∈恒成立，于是，a＞6x²，從而a＞(6x²)_max=6．………………………8分

      （3）因f(x)為偶函數，故只需研究函數f(x)=2ax-4x³在x∈的最大值．

          令=2a-12x²=0，得．…10分     若∈，即0＜a≤6，則

          ，

          故此時不存在符合題意的；

        若＞1，即a＞6，則在上為增函數，于是．

      令2a-4=12，故a=8．             綜上，存在a = 8滿足題設．………………14分