Question

設集合W由滿足下列兩個條件的數列{a_n}構成：
①；②存在實數M，使a_n≤M．（n為正整數）．在以下數列
（1）{n²+1}；  （2）；  （3）；  （4）
中屬于集合W的數列編號為（ ）
A．（1）（2）
B．（3）（4）
C．（2）（3）
D．（2）（4）

Answer 1

【答案】分析：根據集合W是否滿足①；②存在實數M，使a_n≤M．（n為正整數）這兩個條件的集合，說明根據函數的單調性，判定數列是否存在最大值，從而可判定選項．
解答：解：（1）∵，
∴a_n+a_n+2-2a_n+1=n²+1+（n+2）²+1-2（n+1）²-2
=n²+n²+4n+4-2（n²+2n+1）
=2＞0，
∴，
∴（1）不屬于集合W；
（2）∵a_n=，
∴a_n+a_n+2-2a_n+1=+-2×
=1-+1--2+
=--＜0，
∴①成立．
a_n==1-＜1，
滿足集合W的兩個條件，從而可知（2）屬于集合W；
（3）∵，
∴a_n+a_n+2-2a_n+1=2++2+-4-
=＞0，
∴，
∴（3）不屬于集合W；
（4）由an=1-，得a_n+a_n+2-2a_n+1≤0
所以數列{a_n}滿足①；
當n趨向無窮大時，an=1-趨近于1，故a_n＜1，
滿足集合W的兩個條件，從而可知（4）屬于集合W
故（2）（4）正確，
故選D．
點評：本題主要考查了數列的綜合應用，以及數列的單調性，同時考查了了分析問題的能力和計算能力，屬于難題．