Question

例3：已知函數y=sin⁴x-2acos²x+a²的最小值為1，求常數a可能取的值．

Answer 1

【答案】分析：根據同角三角函數間的關系，可將原函數式化簡為y=（sin²x+a）²-2a，根據二次函數的性質，又有0≤sin²x≤1，對a分三種情況討論，依次分析，驗證其最小值是否為1，可得答案．
解答：解：根據同角三角函數間的關系，有cos²x=1-sin²x，
則y=sin⁴x-2a（1-sin²x）+a²=sin⁴x+2asin²x+a²-2a=（sin²x+a）²-2a，
又有0≤sin²x≤1，
若-a＜0，即a＞0時，
分析可得，當sin²x=0時，y的最小值為a²-2a，
根據題意，a²-2a=1，解可得a=-1±，
又有a＞0，故舍去，
分析可得，當sin²x=1時，y的最小值為a²+1
根據題意，a²+1=1，解可得a=0，
又有a＜-1，故舍去，
若0≤-a≤1，即-1≤a≤0時，
分析可得，當sin²x=-a時，y的最小值為-2a，
根據題意，-2a=1，解可得a=-，
綜合可得，a=-．
點評：本題考查函數的最值，尤其涉及二次函數時，注意要對參數分情況討論．