Question

（2012•汕頭一模）半徑為R的圓周上任取A、B、C三點，則三角形ABC為銳角三角形的概率為（　　）

• A．

  1

  4

• B．

  1

  5

• C．

  1

  6

• D．

  3

  8

Answer 1

分析：法一：三個點在圓上構成三角形，不外乎就三種：鈍角三角形，直角三角形和銳角三角形．成鈍角三角形和成銳角三角形的概率相同，構成兩種三角形的概率和等于成直角三角形的概率．
法二：按逆時針方向依次重新標記三點為A，B，C，設弧AB=x，弧BC=y，弧CA=2π-x-y，根據題意建立關于x，y的約束條件，利用線性質規劃的方法求解．

解答：解：法一：任意三個點，連接其中兩點，
（1）如果兩點的連線在直徑上，則與第三點構成的三角形是直角三角形，因為直徑平分圓，所以概率為

1

2

；
（2）如果兩點的連線不在直徑上，則與第三點構成的三角形，要么是銳角三角形，要么是鈍角三角形，所以成鈍角三角形和成銳角三角形的概率相同，各是

1

4

，
法二：如圖①，按逆時針方向依次重新標記三點為A，B，C，設弧AB=x，弧BC=y，弧CA=2π-x-y，
顯然：

0＜x＜2π 0＜y＜2π 0＜2π-x-y＜2π

，三點組成銳角三角形，則

0＜x＜π 0＜y＜π 0＜2π-x-y＜π

，

作出圖形，如圖所示．
所求概率等于圖②中紅色部分（直線x=π，y=π，x+y=π圍成三角形）面積除以所有涂色（紅色和綠色）部分（x軸，y軸與直線x+y=2π圍成三角形）面積，
為

π×π× 1 2

2π×2π× 1 2

=

1

4

．
故選A．

點評：本題考查幾何概型的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．