Question

【題目】設直線l：y＝2x＋2，若l與橢圓 的交點為A，B，點P為橢圓上的動點，則使△PAB的面積為 的點P的個數為(　　)

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Answer 1

【答案】D

【解析】

由直線l的方程與橢圓x2+=1的方程組成方程組，求出弦長AB，計算AB邊上的高h，

設出P的坐標，由點P到直線y=2x+2的距離d=h，結合橢圓的方程，求出點P的個數來．

由直線l的方程與橢圓x2+=1的方程組成方程組，

解得或，

則A（0，2），B（﹣1，0），

∴AB==，

∵△PAB的面積為﹣1，

∴AB邊上的高為h==．

設P的坐標為（a，b），代入橢圓方程得：a2+=1，

P到直線y=2x+2的距離d==，

即2a﹣b=2﹣4或2a﹣b=﹣2；

聯立得：①或②，

①中的b消去得：2a2﹣2（﹣2）a+5﹣4=0，

∵△=4（﹣2）2﹣4×2×（5﹣4）＞0，∴a有兩個不相等的根，∴滿足題意的P的坐標有2個；

由②消去b得：2a2+2a+1=0，

∵△=（2）2﹣4×2×1=0，∴a有兩個相等的根，滿足題意的P的坐標有1個．

綜上，使△PAB面積為﹣1的點P的個數為3．

故選：D．