Question

【題目】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且此拋物線的準(zhǔn)線被橢圓C截得的弦長(zhǎng)為1．

（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II）直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為，直線m是線段AB的垂直平分線，試問(wèn)直線過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（I）根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)求得橢圓，結(jié)合以及，求得的值，進(jìn)而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（II）首先根據(jù)在橢圓的內(nèi)部，求得的取值范圍.分成的斜率存在或者不存在兩種情況進(jìn)行分類討論，求出直線的方程，由此判斷直線過(guò)定點(diǎn).

（I）拋物線的焦點(diǎn)為，則．拋物線的準(zhǔn)線被橢圓C截得的弦長(zhǎng)為，所以，結(jié)合，解得，．

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（II）顯然點(diǎn)在橢圓C內(nèi)部，故，且直線的斜率不為0

當(dāng)直線l的斜率存在且不為0時(shí)，易知，設(shè)直線l的方程為

代入橢圓方程并化簡(jiǎn)得：

設(shè)，，則，解得．

因?yàn)橹本�m是線段AB的垂直平分線，故直線，即：．

令，此時(shí)，，于是直線m過(guò)定點(diǎn)．

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，易知，此時(shí)直線，故直線m過(guò)定點(diǎn)

綜上所述，直線m過(guò)定點(diǎn)．