Question

【題目】已知函數f（x）=alnx﹣x2+1． （Ⅰ）若曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為4x﹣y+b=0，求實數a和b的值；
（Ⅱ）討論函數f（x）的單調性；
（Ⅲ）若a＜0，且對任意x1 ， x2∈（0，+∞），x1≠x2 ， 都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|x1﹣x2|，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）=alnx﹣x2+1，

求導得 ，

因為，在x=1處的切線方程為4x﹣y+b=0，

所以，f′（1）=a﹣2=4，得a=6，4﹣f（1）+b=0，b=﹣4．

（Ⅱ）

當a≤0時，f′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，

所以f（x）在（0，+∞）上是減函數．

當a＞0時， （舍負）

， ，

f（x）在 上是增函數，在 上是減函數；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若a＜0，f（x）在（0，+∞）上是減函數，

不妨設x1＜x2，則f（x1）＞f（x2），|f（x1）﹣f（x2）|＞|x1﹣x2|，

即f（x1）﹣f（x2）＞x2﹣x1即f（x1）+x1＞f（x2）+x2，

只要滿足g（x）=f（x）+x在（0，+∞）為減函數，

g（x）=alnx﹣x2+1+x，

即a≤2x2﹣x在（0，+∞）恒成立，

a≤（2x2﹣x）min，

，

所以

【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，根據f′（1）的值，求出a的值，結合切線方程求出b的值即可；（Ⅱ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；（Ⅲ）令g（x）=alnx﹣x2+1+x，求出函數的導數，問題轉化為a≤2x2﹣x在（0，+∞）恒成立，根據函數的單調性求出a的范圍即可．
【考點精析】本題主要考查了函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．