Question

【題目】已知曲線 （為參數）， （為參數）

（Ⅰ）將的方程化為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；

（Ⅱ）若上的點對應的參數為，為上的動點，求中點到直線 （為參數）距離的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），為圓心是，半徑是的圓；，為中心是坐標原點，焦點在軸上，長半軸長是，短半軸長是的橢圓；（Ⅱ）.

【解析】

（1）根據 消參即可得到 的普通方程，由普通方程可知為圓心是，半徑是的圓，為中心是坐標原點，焦點在軸上，長半軸長是，短半軸長是的橢圓。

（2）根據題意求出坐標，利用的參數方程設出Q的直角坐標,由題意可得中點坐標，結合點到直線的距離公式、輔助角公式求出最小距離。

解：（Ⅰ），

為圓心是，半徑是的圓

為中心是坐標原點，焦點在軸上，長半軸長是，短半軸長是的橢圓

（Ⅱ）當時，，故

為直線，到的距離

，

從而當時，取得最小值.