Question

設函數f(x)=

1

3

(a-1)x3-

1

2

ax2+x（a∈R）[
（Ⅰ）若y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與y軸和直線x-2y=0圍成的三角形面積等于

1

4

，求a的值；
（II）當a＜2時，討論f（x）的單調性．

Answer 1

分析：（I）由題目條件知，點P（1，f（1））為切點，且函數在該點處的導數值為切線的斜率，求出切線方程，利用切線與y軸和直線x-2y=0圍成的三角形面積，從而建立關于a的方程，可求得a的值；
（II）由函數及其導數的解析式，解不等式f'（x）＞0與f'（x）＜0，可求出函數的單調區間．

解答：解：（I）∵f'（x）=（a-1）x²-ax+1，∴f'（1）=（a-1）+1-a=0
又∵f（1）=

1

3

（a-1）-

1

2

a+1=-

a-4

6

，
∴y=f（x）在點（1，f（1））處的切線的方程為y=-

a-4

6

，
由

y=- a-4 6 x-2y=0

，得

x=- a-4 3 y=- a-4 6

，
則切線與y軸和直線x-2y=0圍成的三角形面積等于

1

2

×

1

6

|a-4|×

1

3

|a-4|=

1

4

，
解得，a=7或a=1．
（II）f'（x）=（a-1）x²-ax+1=（x-1）[（a-1）x-1]
①當a=1時，f′（x）=1-x，則f（x）在（-∞，1]上是增函數，在[1，+∞）上是減函數；
②當1＜a＜2時，f′（x）≤0得1≤a≤

1

a-1

，則f（x）在（-∞，1]、[

1

a-1

，+∞）上是增函數，在[1，

1

a-1

]上是減函數；
③當a＜1時，f′（x）≥0得

1

a-1

≤a≤1，則f（x）在（-∞，

1

a-1

]，[1，+∞）上是減函數，在[

1

a-1

，1]上是增函數．

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的單調性，同時考查了導數的幾何意義，以及學生靈活轉化題目條件的能力，屬于中檔題．